М А Т Е М А Т И К А 3

На усменом делу испита студент добија по два питања из сваког дела градива (првог и другог дела усменог испита), по једно лакше и једно теже и одговарајуће време за припрему концепта.

ПИТАЊА ЗА ПРВИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА

Лакша питања

1. Појам диференцијалне једначине првог реда. Решење диференцијалне једначине, опште, партикуларно, сингуларно решење.
2. Појам диференцијалне једначине првог реда. Кошијев проблем и теорема о егзистенцији и јединствености решења.
3. Једначина која раздваја променљиве.
4. Хомогена диференцијална једначина првог реда.
5. Линеарна диференцијална једначина првог реда.
6. Бернулијева и Рикатијева диференцијална једначина.
7. Једначина с тоталним диференцијалом. Формулација теореме о условима да једначина буде једначина с тоталним диференцијалом.
8. Диференцијалне једначине n-тог реда. Решење, опште и партикуларно решење. Кошијев проблем.
9. Диференцијалне једначине n-тог реда које дозвољавају снижавање реда.
10. Линеарна диференцијална једначина n-тог реда. Линеарност решења хомогене једначине. Линеарна независност функција. Дефиниција детерминанте Вронског.
11. Дефиниција фундаменталног система решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда. Запис општег решења.
12. Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
13. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Каракеристична једначина - реални и различити корени.
14. Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Метода неодређених коефицијената.
15. Појам система диференцијалних једначина. Записи система. Решење система. Егзистенција и јединственост решења.
16. Свођење диференцијалне једнчине n-тог реда на n диференцијалних једначина првог реда.
17. Опште решење система диференцијалних једначина, интеграли и први интеграли. Формулација теореме о условима да функција буде интеграл система.
18. Дефиниције интеграла и првог интеграла система. Формулација теорема о независности првих интеграла.
19. Системи диференцијалних једначина вишег реда. Свођење на системе диференцијалних једначина првог реда.

Тежа питања

1. Диференцијална једначина првог реда која се своди на хомогену једначину.
2. Једначина с тоталним диференцијалом. Формулација и доказ теореме о условима да једначина буде једначина с тоталним диференцијалом.
3. Једначина с тоталним диференцијалом. Интеграциони фактор.
4. Линеарна независност функција. Дефиниција детерминанте Вронског. Услови независности функција изражени преко детерминанте Вронског.
5. Дефиниција детерминанте Вронског. Линеарна независност решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
6. Дефиниција фундаменталног система решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда. Формулација и доказ теореме о запису произвољног решења.
7. Лагранжова метода варијације константи за нехомогену линеарну диференцијалну једначину 2-гог или n-тог реда.
8. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Карактерисична једначина: комплексни корен.
9. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Карактерисична једначина: међу коренима има вишеструких.
10. Појам система диференцијалних једначина. Метода елиминације за свођење система n диференцијалних једначина на диференцијалну једначину n-тог реда.
11. Дефиниције интеграла и првог интеграла система. Формулација и доказ теореме о условима да функција буде интеграл система.

ПИТАЊА ЗА ДРУГИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА

Лакша питања

1. Системи линеарних диференцијалних једначина. Разни записи ситема. Кошијев проблем.
2. Хомогени системи линеарних диференцијалних једначина - особине решења.
3. Дефиниције фундаменталног скупа решења и фундаменталне матрице хомогеног система диференцијалних једначина. Матрични облик општег решења.
4. Нехомогени системи. Опште решење нехомогеног система.
5. Решавање хомогеног система са константним коефицијентима. Карактеристична једначина: реални различити корени.
6. Функције комплексне променљиве. Гранична вредност и непрекидност.
7. Елементарне функције комплексне променљиве.
8. Извод и диференцијабилност функције комплексне променљиве. Формулације теорема о неопходним и довољним условима диференцијабилности.
9. Аналитичке функције. Сингуларне тачке аналитичке функције. Изоловани сингуларитети, типови изолованих сингуларитета.
10. Интеграл функције комплексне променљиве.
11. Кошијева теорема за једноструко и вишеструко повезану област.
12. Неодређени интеграл функције комплексне променљиве.
13. Прва и друга Кошијева формула за функције комплексне променљиве - формулације теорема.
14. Резидум функције комплексне променљиве. Рачунање помоћу лимеса.
15. Примена резидума функције комплексне променљиве.
16. Дефиниција Лапласове трансформације и довољни услови за постојање.
17. Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = e^bt .
18.  Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = sin bt.
19.  Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) =tⁿ.
20. Лапласова трансформација јединичне одскочне функције f(t) = u(t-b). Доказати L{f(t-b)u(t-b)} = e^-bsF(s),  Re s > a, b > 0, ако је је  L{f(t)} = F(s),  Re s > a.
21. Особина линеарности за Лапласову трансформацију. Доказати L{f(bt)} = 1/b F(s/b),  Re s > ab, L{e^btf(t)} = F(s-b), Re s > a+b, ако је  L{f(t)} = F(s), Re s > a.  
22. Дефиниција и особине конволуције и Борелова теорема.
23. Инверзна Лапласова трансформација. Једнозначност.
24. Инверзна Лапласова трансформација рационалних функција.
25. Инверзна Лапласова трансформација производа функција.

Тежа питања

1. Фундаментална матрица као решење хомогеног линеарног система диференцијалних једначина. Веза између вредности детерминанте Вронског и линеарне зависности вектор функција.
2. Веза између вредности детерминанте Вронског и линеарне зависности фундаменталног система решења. Особине фундаменталних матрица (међусобна повезаност).
3. Системи линеарних диференцијалних једначина. Лагранжова метода варијације констаната за нехомогени систем.
4. Решавање хомогеног система са константним коефицијентима. Карактеристична једначина: једноструки комплексни корени.
5. Решавање хомогеног система са константним коефицијентима. Карактеристична једначина: вишеструки корени.
6. Извод и диференцијабилност функције комплексне променљиве. Формулација и доказ теореме о неопходним условима диференцијабилности.
7. Извод и диференцијабилност функције комплексне променљиве. Формулација и доказ теореме о довољним условима диференцијабилности.
8. Прва Кошијева формула за функције комплексне променљиве - формулација и доказ теореме.
9. Дефиниција Лапласове трансформације. Особина извода за Лапласову трансформацију.
10. Дефиниција Лапласове трансформације. Особина интеграла за Лапласову трансформацију.
11. Инверзна Лапласова трансформација. Егзистенција и Мелинова формула.